С квалификационными требованиями рабочих мест

Затем составляется таблица дополнительной потребности рабочих.

Таблица 9.5

Дополнительная потребность в квалифицированных рабочих кадрах

После определенияобщей дополнительной потребности вкадрах выявляются пути ее обеспечение и план набора до кварталам и в целом на год (таблица 9.6).

Таблица 9,6

Пути обеспечения дополнительной потребности

Для того чтобы произвести расчеты и определить дополнительную потребность в кадрах, обычно используют следующие формулы:

И ,

где Ч ПЛ - плановая (потребная) численность рабочих определенной профессии;

Ч Н и Ч К – численность рабочих соответственно на начало и конец расчетного периода;

ДП - дополнительная потребность в рабочих соответствующей профессии.

Практика планирования выделяет три основных направления использования дополнительной потребности в рабочих:

Расширение объема производства;

Возмещение планируемой убыли;

Возмещение убыли по причине налипшего оборота рабочей силы.

Дополнительная потребность в руководителях, специалистам и тужащих определяется по числу вакансий в соответствии с утвержденными штатами и с учетом предполагаемой убыли этих работника по различным причинам. Пополнение их численности осуществляется в основном за счет молодых специалистов, окончивших учебные заведения.

Планирование и прогнозирование

Производительного труда

Основной цельюпланирования производительности труда является поиск резервов, использование которых позволило бы организации выйти на более низкий уровень расходов на персонал, чем достигнутый конкурентами, и обеспечить тем самым возможность выживания в условиях рынка.

При планировании производительности труда в отечественных организациях применяются два метода: метод прямого счета и метод планирования по факторам.

С помощью метода прямого счета рассчитывается возможное уменьшение численности персонала под влиянием конкретных организационных и технических мероприятий. При этом вначале определяется плановая численность персонала по отдельным категориям с учетом ее возможного сокращения в результате внедрения запланированных мероприятий. Затем на основании рассчитанной плановой численности персонала и плановного выпуска продукции вычисляются уровень производительности труда и темпы ее роста по сравнению с базовым периодом.

В условиях рынка предпочтение должно быть отдано второму методу планирования производительности труда, так как он позволяет выделить влияние внешних факторов, не зависящих от организации. Применение метода планирования по факторам предполагает прежде всего четкую классификацию факторов, единую для всех уровней управления.

Прогнозирование производительности труда на предстоящий период производится на основе расчета влияния факторов на его величину. Для определения воздействия того или иного фактора на рост производительности труда рассчитывается экономия рабочей силы по отношению к численности работников, необходимой для выполнения заданного объема работ при базисной выработке. Исходная численность работников (Ч И) на данный объем работ может быть определена следующим образом:

а) при неизменной структуре объема производства

где Ч БАЗ - численность работников базового периода, чел.;

б) при наличии структурных сдвигов,

где Чi- численность работников i-го структурного подразделения, чел.;

ЮПi - рост объема производства i-ro структурного подразделения.

Важнейшим фактором, влияющим на рост производительности труда, является повышение технического уровня производства.

Экономию рабочей силы (ЭЧ Р) за счет модернизации или внедрения нового оборудования можно рассчитать по формуле:

где М - общее количество единиц оборудования;

М C Т - количество немодернизированного оборудования;

М М - количество нового или модернизированного оборудования;

П Т - рост производительности труда при эксплуатации нового или модернизированного оборудования, %;

Т Д - число месяцев действия нового или модернизированного оборудования;

Т К - календарное число месяцев в расчетном периоде.

Экономия численности работающих (ЭЧ ППП) определяется по формуле:

где Ч ПППИ - исходная численность работающих для производства планового объема продукции исходя из выработки базисного периода;

У З - доля рабочих, занятых обслуживанием оборудования, к численности промыш-ленно-производственного персонала, %;

Э Р - относительная экономия численности рабочих, %:

Следующая группа факторов, учитываемых при определении Производительности труда, связана с совершенствованием управления, организации производства и труда. Сюда относятся мероприятия по улучшению управления производством, повышению уровня специализации, сокращению потерь от брака продукции, снижению числа рабочих, не выполняющих установленные нормы выработки, и др.

При расчете роста производительности труда за счет совершенствования управления производством используется метод сравнения. При этом сравниваются существующая на данном предприятии численность работников управления с занятыми в сфере управления на передовых предприятиях с более совершенной структурой управления, а также с проектными данными. Влияние совершенствования нормирования труда на рост его производительности устанавливается прямым счетом, т.е. нахождением соотношения между численностью работников при научно обоснованных нормах и существующей численностью.

Рост производительности труда за счет подтягивания рабочих, не выполняющих нормы выработки, определяется двумя способами:

1) исчислением непосредственного роста производительности труда за счет подтягивания не выполняющих нормы до 100%-ного или среднего процента выработки коллектива:

где Ч Р1 и Ч Р2 - численность рабочих по группам, у которых уровень выполнения норм ниже 100%;

X 1 и Х 2 - среднее выполнение норм соответственно по группам;

Д - удельный вес рабочих, не выполняющих нормы общей численности

работников;

2) выявлением экономии численности работников за счет мероприятий по выполнению норм выработки работающим

гдеП РИ - плановое повышение уровня выполнения норм выработки группой рабочих, не выполняющих нормы выработки, %;

УВ РН - удельный вес группы рабочих, не выполняющих нормы выработки, в общей численности работающих, %;

У -удельный вес группы рабочих-сделыциков, не выполняющих нормы выработки, в общей численности рабочих;

0,5 - коэффициент, показывающий равномерность повышения уровня выполнения норм на протяжении всего планируемого периода.

Экономия рабочей силы за счет специазациЯ производства и увеличения кооперированных поставок находится по соотношению:

где УВ БАЗ и УВ ПЛ - удельный вес кооперированных поставок соответственно в базисном и плановом периодах, %;

ОП ПЛ - объем производства в планируемом периоде, руб.;

В БАЗ - выработка на одного работника в базисном периоде, руб.,

а также про формуле:

Экономия рабочей силы за счет лучшего использования рабочего времени рассчитывается по формуле:

где УВ Р - удельный вес рабочих в численности промышленно-производствен-ного персонала, %;

П БАЗ и П ПЛ - потери рабочего времени соответственно в базисном и плановом периодах, %.

Сокращение невыходов на работу ведет к экономии численности рабочих, которую можно вычислить так:

где Ф ПЛ и Ф БАЗ - количество рабочих дней, отрабатываемых одним рабочим соответственно в плановом и базисном периодах.

Сокращение брака продукции способствует экономии рабочей силы рабочих-сделыциков, величина которой может быть определена следующим образом:

где Б БАЗ и Б ПЛ - потери от брака в процентах к себестоимости продукции соответственно в базисном и плановом периодах;

Ч РБАЗС - численность рабочих-сделыциков в базисном периоде.

Экономия численности при устранении нерацио-Иальных затрат труда рассчитывается по формуле:

где Д БАЗ и Д ПЛ - доплаты рабочим-сделыцикам за отклонения от запроектированных технологических процессов в общем фонде заработной платы рабочих соответственно в базисном и плановом периодах, %.

Влияние сдвигов в составе (ассортименте) продукции на экономию рабочей силы устанавливается следующим образом:

где Т БАЗ и Т ПЛ - удельная трудоемкость продукции соответственно в базисном и плановом периодах, нормо-ч;

Q ПЛ - объем продукции в плановом периоде;

К ВН - коэффициент выполнения норм выработки в плановом году;

Ф ПЛ - фонд полезного времени работы одного рабочего в плановом году, ч.

, 358.42kb.

, 371.41kb.

Пермского Государственного Университета Кафедра экономики «Калькулирование себестоимости» , 48.57kb.

Российский Государственный Торгово-экономический Университет Саратовский Коммерческий , 308.25kb.

Казанский Государственный Университет кафедра экономики курсовая , 316.15kb.

Челябинский Государственный Унивеситет кафедра мировой экономики влияние бухгалтерского , 142.32kb.

Такая формула удобнее в расчетах, однако, точность определения среднесписочной численности персонала не столь высока.

Результат расчета среднесписочной численности персонала нашего предприятия «Завода цепей» представлен в таблице 3.1.

Во взаимосвязи с некоторыми другими показателями среднесписочную численность персонала можно проиллюстрировать данными табл. 3.2.

Анализ структуры рабочей силы целесообразно производить сопоставляя численность отдельных категорий персонала с общей его численностью и сравнивая эти категории друг с другом.

Исходя из данных тaбл. 3.2. можно видеть, что численность промышленно-производственного персонала предусматривалось сократить на 10 человек (540 – 550= – 10), или на 1,82%

(  100 – 100 = – 1,82 %),

В том числе рабочих на 5 человек, или на 0,91 %

(  100 – 100 = – 0,91 %),

Кроме того, персонала, не относящегося к рабочим, на 5 человек

(30 – 35 = – 5),

Что составит 14,2 %:

(100 – 100 = – 14,2%).

Планом предусматривалось изменение структуры рабочей силы в пользу рабочих. Удельный вес рабочих в ноябре составлял 93,64 %:

(  100 = 93,64%).

а в декабре планировалось 94,44 % (  100 = 94,44 %), что соответствовало росту на 0,80 пункта (94 44 – 93,64 = 0,80).

Увеличение удельного веса рабочих в общей численности промышленно-производственного персонала до недавних пор считалось позитивным фактором, однако в настоящее время подход несколько изменился и качество управления оценивают не по доле управленцев в общей численности работающих, а по другим критериям.

Фактически численность промышленно-производственного персонала сократилась на 7 человек (543 – 550 = – 7), или на 1,27 %

(  100 – 100 = – 1,27 %),

В том числе по рабочим на 5 человек, или на 0,97 %

(  100 – 100 = – 0,97 %),

а персонала, не относящегося к рабочим, на 2 человека (33 – 35 = – 2), что составляет 5,71 %

( – 100 – 100 = –5,71 %).

a в декабре - 91,71 % ( 100 = 91,71 %), хотя запланировано было 2,41 % ( 100 = 92,41 %).

Этот показатель желательно рассматривать за ряд временных интервалов. Динамика удельного веса рабочих основного производства показана в табл. 3.3.

Даже при беглом ознакомлении с данными, приведенными в таблице, можно видеть, что в декабре произошел резкий скачок численности как работающих, так и рабочих, причем это было заранее запланировано. Подобного рода уменьшение численности может быть вызвано различными причинами, в числе которых весьма вероятны следующие:

Внедрение нового оборудования, высвобождающего персонал, выход на пенсию (или уход в армию) ряда сотрудников одновременно;

открытие новых самостоятельных производств, вызывающих отток кадров, переход предприятия на хозяйствование с новыми формами собственности, сокращение производства некоторых видов изделий.

Можно предположить, что резкое сокращение численности персонала не может продолжаться в течение длительного времени, поскольку вес названные причины носят, как правило, разовый, а не долгосрочный характер.

Таблица 3.3. Удельный вес рабочих основного производства в общей численности ППП

№ п/п	Месяц	Численность рабочих основного производства, чел.	Общая численность ППП, чел.	Удельный вес рабочих, %
1	2	3	4	5
1	Январь	515 (–)	569 (–)	90,5097
2	Февраль	514(1)	568 (1)	90,4930
3	Март	152 (2)	564(4)	90,7801
4	Апрель	511 (1)	562 (2)	909251
5	Май	511(0)	562 (0)	90,9253
6	Июнь	510 (1)	558 (4)	91,3978
7	Июль	508 (2)	556 (2)	91,3669
8	Август	507(1)	555(1)	91 3514
9	Сентябрь	507 (0)	554 (1)	91,5162
10	Октябрь	505 (2)	551 (3)	916515
11	Ноябрь	503 (2)	550 (1)	91,4545
12	Декабрь	498 (5)	543 (7)	91.7127
13	Декабрь (план)	499(4)	540 (10)	92 4074

АНАЛИЗ КВАЛИФИКАЦИИ, СОСТАВА И ДВИЖЕНИЯ РАБОЧЕЙ СИЛЫ

Анализ квалификации рабочих целесообразно начать с составления распределительной таблицы рабочих по рязрядам (табл. 5.1.)

Таблица 5.1. Распределение разрядов рабочих н работ в декабре 1995 г.

Разряд	Сдельщики, чел.	Повременщики				Разряд работ
		Основные	Вспомогательные	Всего	%		%	Отклонение
		Основные	Вспомогательные	гр. 1 + гр. 2 + гр. 3	(гр. 5 / 510) 		(гр. 7 / 510) 	%, гр. 6 – гр. 8	Чел., гр. 6 – гр. 8
I	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I	191	3	5	199	39,02	151	29,80	9,22	48
II	99	3	3	105	20,59	92	18,04	2,55	13
III	59	9	3	71	13.92	60	11,76	2,16	11
IV	25	7	1	33	6,47	48	9,41	–2,94	– 15
V	53	6		56	11,57	92	18,94	–6,47	– 33
VI	36	7		43	8,43	66	12,94	4,51	– 23
Итого	463	35	12	510	100,0	510	100,00	0,01

Как видно из таблицы, почти 40% общей численности приходится на рабочих I разряда и 60 % - на рабочих первых двух разрядов. Такой структурный сдвиг численности в сторону рабочих низших разрядов показывает, что на предприятии много молодых рабочих, лишь недавно пришедших на производство. Численность рабочих первых двух разрядов превышает число рабочих мест на 61 человека (48+3=61). Столь существенный излишек неквалифицированной рабочей силы требует большой работы по обучению персонала.

С другой стороны, не хватает высококвалифицированной рабочей силы. Число рабочих мест V и VI разрядов превышает численность рабочих на 56 человек (33 + 23 = 56). Известно, что подготовка рабочего высшего разряда Занимает несколько лет, поэтому администрации предприятия наряду с обучением персонала имеет смысл привлекать опытные кадры со стороны. В случае, если финансовое положение предприятия довольно устойчивое, труд квалифицированных рабочих можно стимулировать дополнительно.

Рассмотрим интегральные показатели рабочей силы и рабочих мест на предприятии:

Средний разряд рабочих:

Ноябрь: (212 1 + 110 2 + 66 3 + 32 4 + 58 5 + 37 6) / 515 = 2,47;

Декабрь (по плану):

(197 1 + 104 2 + 71 3 + 33 4 + 61 5 + 44 6) / 510 = 2,60;

Декабрь (фактически):
(199 1 + 105 2 + 71 3 + 33 4 + 59 5 + 43 6) / 510 = 2,56;

Средний разряд работ:

Декабрь (фактически):

(151 1 + 92 2 + 60 3 + 48 4 + 92 5 + 66 6) / 510 = 3,06.

Данные по разрядам рабочих можно свести в табл. 5.2.

Таблица 5.2. Распределение рабочих по разрядам

Разряд	Ноябрь	Декабрь (по плану)	Декабрь (фактически)	Отклонение (гр4 гр2)
1	2	3	4	5
I	212	197	199	– 13
II	110	104	105	– 5
Ш	66	71	71	+ 5
IV	32	33	33	+ 1
V	58	61	59	+ 1
VI	37	44	43	+ 6
Итого:	515	510	510	– 5

Можно отметить существенный рост среднего разряда работ в декабре, который составил 0,09 (2,56 - 2.47) разряда, что подтверждает стремление предприятия обучать свои кадры. При сохранении темпов роста среднего разряда рабочих для достижения соответствия разрядов рабочих и разрядов работ предприятию потребуется 0,507 / 0,097 = 6,56 мес., т.е. более полугода.

Однако, поскольку на предприятии явный излишек рабочих первых трех разрядов и существенная нехватка квалифицированных рабочих, можно предположить, что структурного равновесия разрядов рабочих и работ по профессиям добиться в течение полугода едва ли возможно.

Средний разряд работ равный 3,06 говорит об относительно несложной продукции, выпускаемой на предприятии.

Представим распределение работ и рабочих по разрядам в виде диаграммы (см. рис. 5 1.).

Как видим, распределение работ по разрядам далеко от нормального.

На предприятии достаточно много рабочих мест первых двух разрядов, они составляют [(151 + 92) / 510) 100 = 47,8 %, т. е. почти половину всех рабочих мест. Такое положение обусловливается тем, что в производственном цикле очень много заготовительных операций, не требующих высокой квалификации.

В ближайшей перспективе работу на заготовительных участках планируется автоматизировать, что, с одной стороны, приведет к сокращению рабочих мест, в первую очередь низших разрядов, а с другой - потребует привлечения высококвалифицированных рабочих.

Рабочих мест средних разрядов (Ш - IV) существенно меньше, чем низких и высоких, поскольку соответствующие производства на предприятии отсутствуют. [(60 + 48)/510] 100 = 21,2 %.

Наиболее сложным в технологическом отношении является сборочный участок, где требуется высококвалифицированная рабочая сила. что и обусловливает более высокую, по сравнению со средними разрядами, долю рабочих V и VI разрядов: (92 + 66)/510 = 31,0 %.

Распределение рабочих по стажу работы представлено в табл. 5.2.

Таблица 5.2. Распределение рабочих по стажу работы

Можно отметить, что численность новичков на предприятии превышает третью часть общей численности: (165 / 510) 100 = 38,2 %.

Как видно из ранее приведенных данных, общая численность занятых в производстве рабочих сокращается. Поэтому можно утверждать, что на анализируемом предприятии имеет место высокая текучесть рабочей силы. Однако эта текучесть носит структурный характер и вызывается увольнением новичков, которым на предприятии предлагается малоквалифицированный, тяжелый и не престижный труд на участках заготовительного производства. Рабочие более высоких разрядов увольняются гораздо реже и составляют кадровый костяк. В целом, по кадровому составу, предприятие очень молодое и количество рабочих, проработавших на нем свыше 10 лет, составляет лишь 16,1 % (82/510) 100 = 16,08 %.

Текучесть рабочих низших разрядов указывает на необходимость скорейшей автоматизации работ на заготовительных участках.

Важным направлением анализа деятельности предприятия является структурный анализ рабочей силы по специальностям. Обеспеченность рабочими основных специальностей, чей труд составляет технологическую трудоёмкость, показана на табл. 5.3.

Трудоемкость изготовления производственной программы (гр. 2) рассчитывается умножением нормативной (плановой) трудоемкости изготовления всей номенклатуры по данному виду работ на количество изделий, запланированных к производству в анализируемом периоде. Подобным образом определяется тарифная заработная плата (гр. 3) по всей номенклатуре изделий.

Делением данных графы 3 на графу 2 определяется средняя стоимость нормо-часа. Средняя стоимость нормо-часа того или иного вида работ сама по себе является достаточно важным показателем для анализа. Кроме того, исходя из средней стоимости нормо-часа, можно получить средний разряд по видам работ.

Например, для фрезерных работ это можно определить следующим образом. средняя стоимость нормо-часа составляет 16,214 д. e.; часовая тарифная ставка работ II разряда - 15,12 д. e.; часовая тарифная ставка работ III разряда - 16,80 д. e.

Средний разряд работ равен:

2 + (16,214 - 15,12) / (16,80 - 15,12) = 2,65.

Аналогичным образом производятся расчеты по всем видам работ. Средний разряд работ по предпрятию (по сдельным и повременным работам) определяется умножением трудоемкости каждого вида работ на средний по видам разряд работ. Полученные произведения суммируются, после чего результат делится на суммарную трудоемкость работ.

Средний разряд рабочих определяется перемножением численности рабочих на их квалификационный разряд, после чего произведения суммируются, и результат делится на общую численность рабочих.

Весьма важной для анализа является информация, представленная в гр. 10 и 11. Сравнивая необходимую численность рабочих с фактической по видам работ можно определить нехватку (иди, наоборот, излишек) кадров той или иной специальности. Таким образом, анализируется не только интегральная численность рабочих, но и их структура.

На предприятии не хватает 9 слесарей (103,65-95=8,65) и, наоборот, имеется излишек фрезеровщиков в количестве 4 человек (88,00 - 85,48 - 3,52).

Данная информация представляет интерес и для кадровых служб предприятия.

Квалификационный состав рабочих по видам работ представлен в гр. 6 и 12. Квалификация фрезеровщиков несколько превышает разрядность работ, что вкупе с излишком численности говорит о структурном несоответствии. Если в ближайшее время не предусматривается наращивать объемы и, в некоторой степени, сложность фрезерных работ, то необходимо несколько фрезеровщиков перевести (переучить) на смежные специальности.

По слесарным работам квалификационный состав работ лишь на 0,09 разряда (2,49 - 2,58 = - 0,09) уступает требуемым нормативам. В целом такое положение можно считать нормальным. Некоторое различие разрядов рабочих и разрядов работ (в пользу последних) быстро ликвидируется текущим обучением персонала. Однако набор необходимых для сбалансированности структуры рабочих кадров 9 слесарей, потребует их плановой и целенаправленной подготовки.

Рассмотрим интегральные показатели рабочей силы и рабочих мест на предприятии:

Средний разряд рабочих:

Ноябрь: (212 1 + 110 2 + 66 3 + 32 4 + 58 5 + 37 6) / 515 = 2,47;

декабрь (по плану):

(197 1 + 104 2 + 71 3 + 33 4 + 61 5 + 44 6) / 510 = 2,60;

декабрь (фактически):
(199 1 + 105 2 + 71 3 + 33 4 + 59 5 + 43 6) / 510 = 2,56;

Средний разряд работ:

декабрь (фактически):

(151 1 + 92 2 + 60 3 + 48 4 + 92 5 + 66 6) / 510 = 3,06.

Данные по разрядам рабочих можно свести в табл. 2.4.2.

Таблица 2.4.2. Распределение рабочих по разрядам

Декабрь (по плану)	Декабрь (фактически)	Отклонение (гр4 гр2)

Можно отметить существенный рост среднего разряда работ в декабре, который составил 0,09 (2,5разряда, что подтверждает стремление предприятия обучать свои кадры. При сохранении темпов роста среднего разряда рабочих для достижения соответствия разрядов рабочих и разрядов работ предприятию потребуется 0,507 / 0,097 = 6,56 мес., т. е. более полугода.

Средний разряд работ равный 3,06 говорит об относительно несложной продукции, выпускаемой на предприятии.

Представим распределение работ и рабочих по разрядам в виде диаграммы (см. рис.

Как видим, распределение работ по разрядам далеко от нормального.

Распределение рабочих по стажу работы представлено в табл. 2.4.3.

Таблица 2.4.3. Распределение рабочих по стажу работы

Стаж работы лет					Свыше 10 лет
Численность

Можно отметить, что численность новичков на предприятии превышает третью часть общей численности: (165 / 510) 100 = 38,2 %. Как видно из ранее приведенных данных, общая численность занятых в производстве рабочих сокращается. Поэтому можно утверждать, что на анализируемом предприятии имеет место высокая текучесть рабочей силы. Однако эта текучесть носит структурный характер и вызывается увольнением новичков, которым на предприятии предлагается малоквалифицированный, тяжелый и не престижный труд на участках заготовительного производства. Рабочие более высоких разрядов увольняются гораздо реже и составляют кадровый костяк. В целом, по кадровому составу, предприятие очень молодое и количество рабочих, проработавших на нем свыше 10 лет, составляет лишь 16,1 % (82/510) 100 = 16,08 %.

Средний разряд работ равен:

Таблица 2.4.5. Распределение рабочих и работ по специальностям

Вид работ	Нормативный объем трудовых затрат на месячный выпуск продукции	Фактически
	Грузоемкость, тыс. нормо-ч	Тарифная Заработная плата, тыс. д. е.	Средняя стоимость нормо-ч гр.3/гр.2	Стоимость 1нормо-ч работ 1 разряда	Средний разряд работ	Коэффициент выполнения норм времени	трудоёмкость, тыс. чел/ч гр.2/гр.7	Полезный месячный фонд рабочего времени одного рабочего часа	Необходимая численность рабочих, гр.8/гр.9	Число рабочих	Средний разряд рабочих















Фрезерные
Слесарные

Итого сдельных работ
Повременные работы

Средний разряд работ равен:

2 + (16,12) / (16,80 - 15,12) = 2,65.

Аналогичным образом производятся расчеты по всем видам работ. Средний разряд работ по предприятию (по сдельным и повременным работам) определяется умножением трудоемкости каждого вида работ на средний по видам разряд работ. Полученные произведения суммируются, после чего результат делится на суммарную трудоемкость работ.

Средний разряд рабочих определяется перемножением численности рабочих на их квалификационный разряд, после чего произведения суммируются и результат делится на общую численность рабочих.

Данная информация представляет интерес и для кадровых служб предприятия.

Весьма показателен коэффициент выполнения норм времени (гр. 7). В нашем примере незначительное превышение указанного коэффициента по фрезерным работам (1,19) и несколько меньшее значение по слесарным работам (1,17) по сравнению со средним показателем (1,18), согласуется с различиями между разрядами рабочих и работ. В противном случае, если коэффициент выполнения норм времени выше среднего значения, а средний разряд рабочих ниже среднего разряда работ, то необходимо проверить работу отдела нормирования труда.

На анализируемом предприятии практикуется сдельно-премиальная система оплаты труда , что предусматривает расчленение заработка рабочего н, составляющие, тарифный заработок и премии.

Тарифный заработок рабочих представлен в гр. 3, табл. 2.4.5.

Что касается уровня премий, то их показатели (в процентах) также необходимо распределить по разрядам и видам работ. Существенные отклонения в премиальных доплатах по разрядам и видам работ должны быть объяснены.

В последние годы соотношение темпов роста производительности труда и заработной платы, как и практически все другие показатели, предприятиям директивно не планируются, однако, с точки зрения экономического анализа , этот показатель представляет определенный интерес.

Опережающие темпы роста производительности труда по сравнению с ростом заработной платы являются одним из факторов снижения себестоимости продукции, не говоря уже о росте объемов выпускаемой предприятием продукции.

При проведении анализа желательно, однако, иметь в виду, что соотношение «производительность труда / заработная плата», зависит в основном от той части заработной платы, которая относится на себестоимость продукции, и не должна учитывать выплаты персоналу из фондов, образующихся из прибыли.

Рассмотрим пример анализа этого соотношения по данным табл. 2.4.6.

В декабре планировалось увеличение средней выработки на одного работающего на 4,328 % при росте зарплаты лишь на 0,775 %, т. е. соотношение темпов роста указанных показателей предусматривалось в размере 5,58 (что является очень хорошим показателем, поскольку выработка растет быстрее зарплаты в 5,58 раз: 4.328 / 0.775 = 5,58.

Фактические покупатели оказались на уровне плановых и составили по росту выработки 5,693 % и по росту средней зарплаты - 0,574 %. Таким образом, фактическая выработка росла быстрее средней зарплаты в 9,92 раза:

5,693 / 0,574=9,92.

Изменение фактических показателей по сравнению с плановыми составило 4,34, в том числе за счет повышения темпа роста производительности труда - 2,18, за счет повышения темпа роста заработной платы - 2,16.

(5 693 / 0,693 / 0,775) + (5,693 / 0,58).

Соотношение между темпами роста производительности труда и заработной платы можно видеть из прироста производительности труда на 1 % прироста заработной платы по плановым и фактическим данным и данным предшествующего периода.

Произошел рост производительности труда. Однако этот рост может быть обусловлен рядом факторов, лишь в малой степени зависящих от работы самого предприятия, например таких, как изменение цен на реализованную продукцию, изменение цен на покупные материалы и комплектацию и ряда других, что легко может быть подсчитано.

Показатель производительности труда также может быть изменен из-за структурных сдвигов в выпускаемой продукции. Поэтому необходимо учесть фактор структурных сдвигов в номенклатуре выпускаемой продукции и скорректировать показатель производительности труда.

Известно, что нормативная технологическая трудоемкость изготовления изделий (установленная в октябре) равна:

изделия А - 36,219 нормо/ч;

изделия Б - 29.014 нормо/ч;

изделия В - 21,286 нормо/ч;

изделия Г- 11,512 нормо/ч.

Таблица 2.4.6. Анализ соотношения темпов роста производительности труда и средней заработной платы

	Показатель	Ноябрь (фактически)	Декабрь (план)	Декабрь (фактически)	(гр. 4 / гр. 3) ∙ 100	Фактически, %
(гр. 5 / гр. 3) ∙ 100	(гр. 5 / гр. 4) ∙ 100


	Численность работающих, чел.
	Средняя выработка на одного работающего, тыс. д. е.
	Средняя зарплата на одного работающего, тыс. д. е., (стр. 2 /cтр. 3)
	Удельный вес фонда зарплаты в объеме валовой продукции, %, (стр. 2 / стр. 1) ∙ 100

Исходя из этих данных, а также произведенных в ноябре и декабре условных машино-комплектов можно рассчитать величины объемов выполненных работ и трудовых измерителях, которые составят: в ноябре -,57 нормо-ч, в декабре -,85 нормо-ч.

Для построения ряда распределения рабочих по уровню квалификации, выделим в нем три группы рабочих: с низкой квалификацией (2 тарифный разряд), средней квалификацией (с 3 и 4 тарифный разряд) и высокой квалификацией (5 и 6 тарифный разряд), а затем построим таблицу.

Ряд распределения рабочих по уровню квалификации

Ряд распределения рабочих по тарифному разряду является вариационным дискретным рядом, так как признак, положенный в основу его построения, является количественным, т.е. выражается числом. Ряд распределения рабочих по уровню квалификации является атрибутивным, так как признак, положенный в основу его построения, является качественным, т.е. не имеет количественной меры и может быть выражен только словом.

Типовая задача 2

Известны следующие данные о зарплате работников одного из предприятий, руб. в 2005 г.:

Постройте ряд распределения работников предприятия по уровню зарплаты, выделив четыре группы работников с равными интервалами.

Укажите , по какому группировочному признаку построен ряд распределения: атрибутивному или количественному.

В качестве изучаемого признака возьмем зарплату работников и построим по ней ряд распределения с равными закрытыми интервалами. Величина интервала в этом случае определяется по формуле:

где
и
– соответственно максимальное и минимальное значение зарплаты работника;

n – число групп.

Числитель иначе называют вариационный размах.

Образуем четыре группы работников. Тогда величина интервала будет равна:

Теперь образуем группы работников, отличающиеся друг от друга по зарплате на эту величину. Первая группа будет иметь размер зарплаты от 1300 до 1525 руб., вторая от – 1525 до 1750 руб., и т.д.

В результате получим таблицу:

Распределение работников по размеру зарплаты, руб.

Данный ряд распределения построен по количественному признаку, представленному в интервальной форме, поэтому он является интервальным вариационным рядом.

Как видно из таблицы, ряд распределения состоит из двух элементов: а) значения признака, б) абсолютной численности единиц признака (частот).

Для большей наглядности абсолютные величины могут быть дополнены относительными показателями (частостями), выраженными в процентах. Таким образом, обобщение данных в виде группировок позволяет изучить состав совокупности по изучаемому признаку, оценить степень его вариации и сравнивать группы между собой.

Примечание. Построенные ряды распределения являются групповыми таблицами, так как в основу их построения положен один группировочный признак.

Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.

Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю:

Определим межсерийную дисперсию:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997: .

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах .◄

При бесповторном серийном отборе средняя ошибка выборки для доли определятся по формуле:

где - межсерийная дисперсия доли.

Пример .

200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом. Для проверки качества деталей был проведён сплошной контроль деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 49. С вероятностью 0,997 определим пределы, в которых находится доля бракованной продукции в партии ящиков.

Определим среднюю ошибку выборки для доли: .

Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997 равна: .

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59% до 19,41%.

Пример

Для определения скорости расчетов с кредиторами в порядке механической выборки отобрали 50 платежных документов, по которым средний срок перечисления денег оказался равным 28,2 дня со среднеквадратическим отклонением 5,4 дня. Требуется определить средний срок всех платежей в течение данного года с вероятностью 0,95.

Решение. Предельная ошибка выборки

Тогда с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятия данного треста находится составляет не менее 26,7 дня (28,2 – 1,49) и не более 29,7 дня (28,2 + 1,49).◄

Пример

Генеральная совокупность N состоит из 100 000 единиц, разбитых на 200 равных по объему серий. Произведена бесповторная выборка (m) 50% серий и по 20% единиц из каждой серии. Средняя из серийных дисперсий оказалась равной 12, а межсерийная 5. Требуется определить среднюю ошибку выборки.

Определяем общее число единиц, отобранных серийно: . Число единиц, составляющих индивидуальную выборку: По формуле средней ошибки для бесповторного отбора находим:

Можно сделать выборку такого же объема 100000 единиц, отобрав 20% серий и 50% единиц из каждой серии. При тех же значениях средней из серийных дисперсий и межсерийной дисперсии средняя ошибка этой выборки увеличилась бы в два раза.

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (ли приближается к нему) при , независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения – распределение Стьюдента . В этом случае коэффициент доверия находится по таблицам -распределений Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности и объема выборки . Для отдельных значений и доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (табл. 9), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

Таблица 9.

n	t
	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0
	0,347	0,609	0,769	0,861	0,942
	0,362	0,637	0,806	0,898	0,970
	0,368	0,649	0,823	0,914	0,980
	0,371	0,657	0,832	0,923	0,985
	0,376	0,666	0,846	0,936	0,992
	0,377	0,670	0,850	0,940	0,993

Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,95 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки используются следующие показания распределения Стьюдента (табл. 10)

Таблица 10.

n
	0,95	0,99
	3,183	5,841
	2,777	4,604
	2,571	4,032
	2,447	3,707
	2,364	3,500
	2,307	3,356
	2,263	3,250
	2,119	2,921
	2,078	2,832

Пример.

При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.

Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю пробу малой выборки (табл.11).

Таблица 11.

Пробы
4,3	0,2	0,04
4,2	0,1	0,01
3,8	0,3	0,09
4,3	0,2	0,04
3,7	- 0,4	0,16
3,9	- 0,2	0,04
4,5	0,4	0,16
4,4	0,3	0,09
4,0	- 0,1	0,01
3,9	- 0,2	0,04
41,0	-	0,68

Определяем дисперсию малой выборки:

Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Исходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента (см. табл. 10.) значение коэффициента доверия t=2,263.

Предельная ошибка малой выборки составит:

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:

Т.е. от 4,1% - 0,2%=3,9% до 4,1%+0,2%=4,3%.◄

Пример

Требуется построить 99%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего диаметра изделия по выборке из 10 деталей, обработанных на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими (табл.12):

Таблица 12.

Выборочная средняя мк. Выборочная дисперсия равна 5,2:

Средняя квадратическая ошибка выборки составит 0,76 мк: мк.

При Р = 0,99 и числу степеней свободы k = 9 по таблице находим, что значение t равно 3,25. Тогда с вероятностью 0,99 можно предполагать, что ошибка выборочной средней будет не больше 2,47 мк (3,25 х 0,76), а допустимые значения параметра генеральной совокупности лежат в интервале от – 0,47 до +4,47 кг (2,0 ± 2,47).◄

4. Определение необходимой численности выборки. Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Численность выборки может быть определена в соответствии с положениям:

· вид предполагаемой выборки;

· способ отбора (повторный или бесповторный);

· выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Эти задачи решаются на основе теорем П. Чебышева и А. Ляпунова. Величина предельной ошибки выборки для собственно случайной, механической выборки определяется следующим образом:

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора необходимый объем выборки для средней количественного признака вычисляется по формуле

При определении по материалам выборки доли признака , а не средней его величины, объем выборочной совокупности определится по следующим формулам.

Для повторного отбора:

Для бесповторного отбора:

Величина , характеризующая дисперсию в генеральной совокупности, зачастую бывает неизвестна. В математической статистике доказано, что соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями определяется равенством

Так как при достаточно больших – величина, близкая к единице, то можно принять, что . Поэтому на практике используют выборочную дисперсию в качестве оценки генеральной дисперсии. Заметим, что к началу проведения выборочного наблюдения показатели вариации неизвестны, поэтому определение необходимого объема выборки часто составляет серьезную проблему, связанную с определением показателя вариации изучаемого признака. Приблизительно показатель вариации определяют одним из следующих способов:

· берут из предыдущих исследований;

· если структура и условия развития достаточно стабильны, или же зная примерную величину средней, дисперсию находят из соотношения ;

· если известны и , то можно определить среднее квадратическое отклонение в соответствии с правилом «трех сигм»: , так как в нормальном распределении в размахе вариации укладывается . Если распределение заведомо асимметричное, то ;

при изучении альтернативного признака для случая, когда частость даже приблизительно неизвестна, можно брать максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25, т.е. . В этом случае имеем для повторного отбора, для бесповторного отбора;

· проводят «пробную» выборку, по которой рассчитывают показатель вариации, используемый в качестве оценки генеральной совокупности.

Поскольку генеральная дисперсия оценивается приближенно, величину объема выборки округляют в большую сторону как при повторной, так и при бесповторной выборке, поскольку всегда должен иметься некоторый «запас» числа обследованных единиц для обеспечения требуемой точности результатов.

Нередко на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки , а величина относительной погрешности , выраженная в процентах к средней:

Откуда .

Подставив величину , выраженную через относительную погрешность, в формулу для определения , получим следующее выражение для определения необходимого объема выборки:

Как известно, отношение представляет собой коэффициент вариации , откуда

При бесповторном отборе численность выборки рассчитывается по формуле

Если задана предельная ошибка выборки и объем выборки , то можно определить величину коэффициента , зная которую, по таблице можно определить вероятность .

Пример

Сколько турагентов нужно обследовать в турпредприятиях региона, чтобы получить характеристику среднего уровня оплаты труда этой категории работников в регионе? Известно, что разница между наивысшим и наименьшим уровнем оплаты труда турагентов в регионе составляет 300 тыс. руб.

Для нормального распределения в промежуток ± 3s включается 99,7% всех вариантов значений признака, а это означает применительно к рассматриваемой задаче, что 300 тыс. руб. примерно равно шести средним квадратическим отклонениям (300 » 6s). Поэтому примерная оценка среднего квадратического отклонения заработной платы в генеральной совокупности турагентов региона составит 50 тыс. руб. (). Для дальнейших расчетов достаточно, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб. Тогда, зная, что s = 50 тыс. руб., a t = 2, и используя формулу (5.6) для определения необходимого объема выборки, получим: чел.

Таким образом, при заданных условиях нужно обследовать размер заработной платы у 100 турагентов региона.◄

Пример

Какого объема должна быть выборка из совокупности, включающей 8 000 молодых вкладчиков, чтобы с вероятностью 0,954 относительная предельная ошибка составила не более 1%, если известно, что коэффициент вариации признака для всей совокупности составляет 0,125, то есть 12,5%?

При V=12,5%, =1%, t=2 имеем чел.◄

Пример

Используя выборочный опрос определенной группы населения (N = 5 000), требуется определить долю семей, которые на данный момент не имеют импортного автомобиля. Предельная ошибка выборки должна быть не больше 0,01 с вероятностью 0,954. Можно предполагать, что доля в генеральной совокупности меньше 0,2. Каков должен быть объем выборки?

Домохозяйств.

Доля домохозяйств, не имеющих импортного автомобиля, составляет . Если в этом примере не учитывать объема совокупности, то расчеты приводят к бессмысленному результату:

Пример

В выборке объемом 1000 единиц доля бракованных изделий составила 2%. Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 штук) доля бракованных изделий будет находиться в пределах от 1,5 до 2,5%?

Доверительная вероятность, которую требуется определить, является функцией t. Последняя находится из формулы предельной ошибки выборки , откуда . Величина предельной ошибки выборки может быть определена как разность между максимально допустимой генеральной долей (по условию она равна 2,5%) и долей бракованных изделий в выборке (по условию 2%).

Таким образом, = 0,5% (2,5% – 2,0%). Так как выборка – случайная бесповторная, то величина средней ошибки выборки находится по формуле

Находим величину коэффициента доверия: .

По таблицам интегральной функции Лапласа вероятность, соответствующая данной величине коэффициента t, равна 0,76595. ◄

5. Способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность. Выборочный метод чаще всего применяется для получения характеристик генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований, используют два способа распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность : прямого пересчета показателей выборки для генеральной совокупности или посредством расчёта поправочных коэффициентов.

Способ прямого пересчёта состоит в том, что показатели выборочной доли или средней распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки. При этом генеральная средняя определяется как , а генеральная доля – .

Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.

Пример.

При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет: 0,1 (10: 100) при установленной с вероятностью =0,954 предельной ошибке выборки .

На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: или от 0,04 до 0,16.

Способом прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность - 2 000: 0,04 = 80 шт.; максимальная численность - 2 000: 0,16 = 320 шт.

Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного наблюдения.

В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого “процента недоучета”.

Так, например, если в хозяйствах населения поселка по данным 10%-ной выборки было зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет 4% [(2*50):100]. С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.

6. Статистическая проверка гипотез. Гипотеза – это научное предположение об особенностях явлений, которые их определяют, требующее проверки и доказательства.

Статистическая гипотеза – это определенное предположение, касающееся параметров или формы распределения генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на результаты выборочного наблюдения. Суть проверки гипотез заключается в том, чтобы проверить, согласуются или нет результаты выборки с гипотезой, случайными или неслучайными являются расхождения между гипотезой и данными выборки.

Может быть выдвинута гипотеза о нормальном, биномиальном, распределении Пуассона и т.д.. Причиной частого обращения к нормальному распределению является то, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения. При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибки двоякого рода:

а) ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (её обычно называют нулевой гипотезой) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от неё;

б) ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к её принятию.

Чаще всего гипотеза, которую необходимо проверить, формулируется как отсутствие расхождений между неизвестным параметром генеральной совокупности и заданной величиной (нулевая гипотеза), обозначается . Содержание гипотезы записывается после двоеточия, например .

Статистическим критерием называется правило, согласно которому нулевая гипотеза принимается или отклоняется. Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны специальные критерии, среди которых чаще всего используют - критерий нормального распределения и распределения Стьюдента, -критерий Фишера, распределения Пирсона («хи-квадрат») и другие.

Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1) Сформулировать проверяемую гипотезу . Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая гипотеза (альтернативная);

2) выбрать уровень значимости , контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Уровень значимости () – это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Мощность критерия – это вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является альтернативная гипотеза. То есть мощностью критерия является вероятность того, что не будет допущена ошибка. Конечно, желательно иметь более мощный критерий, так как это обеспечит минимальную вероятность допущения ошибки второго рода.

Статистические критерии, используемые для проверки гипотез, бывают двух видов:

1) Параметрическими называю критерии, которые обосновываются на допущении: распределение случайной величины в совокупности подчиняется какому-либо известному закону (например, нормальному, биноминальному, Пуассона). К таким критериям относятся критерии .

2) Непараметрическими (порядковыми) называют критерии, использование которых не связано со знанием закона распределения случайной величины. Их можно использовать тогда, когда распределение значительно отличается от нормального. К таким критериям относятся критерий знаков Вилкоксона, Уайта, Манна-Уитни.

По сравнению с параметрическими тестами непараметрическое тестирование имеет следующие преимущества и недостатки.

Преимущества:

1. Меньше предположений о генеральной совокупности. Наиболее важное из них то, что совокупность не должна быть нормально распределенной или приблизительно нормальной.

2. Методы непараметрического тестирования могут быть применены даже тогда, когда выборка очень мала.

3. Могут использоваться данные, представленные в любых шкалах измерения (номинальные, порядковые).

4. Простота вычислений, которые могут проводиться на микрокалькуляторе. Это прежде всего связано с малым числом наблюдений, к которым применяются непараметрические тесты.

Недостатки:

1. Информация о данных используется менее эффективно, и мощность тестов ниже, чем параметрических.

Непараметрическое тестирование больше зависит от статистических таблиц, если не используется специальный пакет прикладных программ.

Этапы работы по проверке статистической гипотезы :

1) оценка входной информации и описание статистической модели выборочной совокупности;

2) формирование нулевой и альтернативной гипотезы;

3) установление уровня значимости, с помощью которого контролируют ошибку первого рода;

4) выбор мощного критерия для проверки нулевой гипотезы (это даёт возможность контролировать появление ошибки второго рода);

5) вычисление по определённому алгоритму фактического значения критерия;

6) определение критической области и области согласия с нулевой гипотезой, то есть установление табличного значения критерия;

7) сравнение фактического и табличного значений критерия и формулирование выводов по результатам проверки нулевой гипотезы.

Число наблюдений, по которому строится эмпирическое распределение, невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Эмпирические данные связаны со случайными ошибками, величина которых неизвестна. С увеличением числа наблюдений и одновременно с уменьшением величины интервала зигзаги полигона начинают сглаживаться и в пределе переходят к плавной кривой – кривой распределения.

Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, то есть которое получилось бы при полном гашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность.

Исследование закономерности (формы) распределения включает:

· выяснение общего характера распределения;

· выравнивание эмпирического распределения, то есть на основании эмпирического распределения строится кривая с заданной формой;

· проверку соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.

Однородные совокупности характеризуются одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой. Для симметричного распределения .

Для сравнительного анализа асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии :

Величина может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты более вытянута, чем левая) (рис.1):

Рис.1. Мо<Ме<

Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (рис.2).

Рис.2. Мо>Ме>

Наиболее распространенным является показатель асимметрии, исчисляемый по формуле

где – центральный момент третьего порядка.

Применение этого показателя дает возможность определить не только степень асимметрии, но и наличие или отсутствие асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка осуществляется с помощью средней квадратической ошибки:

где n – число наблюдений.

Если >3, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если <3, асимметрия несущественна и ее наличие может объясняться влиянием случайных обстоятельств.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы на ожидаемый закон неизвестного распределения в генеральной совокупности. Есть ряд критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Ястремского. Эти критерии дают возможность установить: согласуются или нет опытные распределения с теоретическими, а также насколько существенны расхождения между распределениями.

Одним из наиболее употребляемых критериев согласия является критерий К. Пирсона («Хи-квадрат»):

где - соответственно частоты эмпирического и теоретического распределения в - том интервале.

Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные значения от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.

Определив значение критерия Пирсона по данным конкретной выборки, можно встретиться с такими вариантами:

1) , то есть попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.

2) , то есть рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.

Число степеней свободы = , где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот, - число групп. Понятие числа степеней свободы связано с тем, что в статистических совокупностях приходится учитывать линейные связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Например, при исчислении дисперсии в совокупности мы располагаем степенями свободы, так как любое значение признака мы можем определить, зная значений и среднюю арифметическую.

При расчете критерия Пирсона нужно соблюдать следующие условия:

1. Число наблюдений должно быть достаточно велико

2. Если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то такие интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.

Пример

Требуется проверить соответствие распределения предприятий области по средней стоимости основных фондов нормальному закону распределения, используя критерий .

Следует проверить гипотезу о том, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности (в данной совокупности 30,3; 8,44).

Для ответа на вопрос составим вспомогательную таблицу 13.

Таблица 13

Группы строительных предприятий по объему выполненных подрядных работ, млн руб.	Наблюдаемая частота							Округленные частоты
10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50 50–55		-2,41 -1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33	-1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33 2,93	-0,984 -0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980	-0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980 0,997	0,027 0,076 0,153 0,220 0,228 0,163 0,084 0,031 0,008	3,9 10,9 21,9 31,4 32,6 23,3 12,0 4,4 1,2
0,18 3,226 1,48 0,173 0,333
0,2
Итого		-	-	-		-	-	-	5,512

Для первого интервала

143*0,027 = 3,9 ≈ 4.

Число групп после объединения малочисленных составило 7. Критическое значение при 7 – 3 = 4 степенях свободы и значимости 0,05 составит 9,49. Значит, вероятность расхождения распределения с нормальным меньше 0,05 и вероятность соответствия его нормальному закону больше 0,95. при α = 0,1 равна 7,78, что также больше фактического. Гипотеза о соответствии распределения данной совокупности нормальному закону не может быть отвергнута.

С помощью критерия можно проверить не только гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальным, но и с любым другим известным законом распределения, например распределением Пуассона . Это распределение встречается при рассмотрении маловероятных событий, имеющих место в большой серии независимых испытаний. Вероятность появления этих редких событий

где – среднее число появления события А в n одинаковых независимых испытаниях, то есть ; Р – вероятность события при одном испытании; е = 2,71828; m – частота данного события.

Например, для проведения внутреннего контроля качества оформления платежных требований в случайном порядке были выбраны 100 документов. Среднее количество ошибок составило . Требуется проверить, используя критерий , соответствие эмпирического распределения распределению Пуассона (табл. 14).

Таблица 14

Количество ошибок	Число проверенных документов
		0,6771 0,2641 0,0515 0,0067 0,0007	67,7 26,4 5,15 0,7 0,1	0,7859 0,4100 0,0043 8,1148 13,3877
Итого		1,0000		26,400

Значение = 26,4. Число степеней свободы df = 5 – 1 = 4. (Для распределения Пуассона: df = к – 1 – r, где r = 1 или r = 0, если оценка происходит по выборке.) Табличные значения ; . Так как , гипотеза о распределении Пуассона отклоняется.

Для оценки степени соответствия эмпирических и теоретических распределений по данному критерию используются специальные таблицы.

В случае отсутствия специальных таблиц, критерий «хи-квадрат» можно заменить критерием В.И.Романовского:

где – число степеней свободы.

Для нормального распределения, распределения Шарлье , где – число интервалов (групп).

Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считаются случайными, если значение меньше трех.

Помимо данных критериев рассмотрим непараметрические критер ии, актуальность использования которых непрерывно возрастает.

Критерий знаков Вилкоксон – число наблюдений, для которых ).

Область отклонения Н 0 может быть либо с одной, либо с двух сторон в зависимости от того, какая нулевая гипотеза испытывается. В случае отсутствия специальных таблиц W-статистики может быть использовано стандартное нормальное распределение, то есть Z-статистика с учетом п.

Пример

Требуется, используя критерий знаков Вилкоксона, решить вопрос о значимости превышения значения медианы прибыли в исследуемой совокупности фирм, занимающихся сделками с недвижимостью, нулевого значения (5%-й уровень значимости). Нулевая и альтернативная гипотезы будут записаны так: Н о: m < 0; Н 1: m > 0.

Таблица 16

Расчет критерия Вилкоксона

Фирма	Наблюдаемые значения (прибыль как процент от продаж)			Ранг
	-5	-5		9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 13,5 9,5	9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 - 9,5	13,5
Итого	-	-	-	-	139,5	13,5

Для фирм с ранги вынесены в отдельную графу R + . Сумма значений в этой графе дает статистику Вилкоксона: W= 139,5. (Графа R– не участвует в анализе, но рассчитывается, чтобы избежать ошибок.)

Критическое значение критерия W может быть найдено из таблиц.

Для 17 ненулевых разностей и α = 0,05 нижнее критическое значение W = 42, верхнее – 111. Фактическое значение = 139,5 не находится в интервале табличных значений. Следовательно, нулевая гипотеза может быть отвергнута на 5%-ном уровне значимости.

Критерий знаков Вилкоксона для сравнения двух выборок может быть применен как непараметрический критерий решения задачи, для которой ранее использовался параметрический t-критерий. Характеристики одной совокупности обозначаются x 1 , а другой y 1 . Методика расчета аналогична применению критерия к одной выборке.

Пример

Каждому члену аналитической группы из 17 человек показали две рекламы. Испытуемые оценили творческий уровень каждой из рекламы в баллах от 1 до 5. Оценить творческий уровень каждой из реклам на 5%-ном уровне значимости.

Н 0: , то есть медиана величины в генеральной совокупности равна нулю (творческие уровни рекламы одинаковы);

21,5 попадает в эти пределы, следовательно, нулевая гипотеза принимается. Вывод: сравниваемые рекламные продукты имеют одинаковый творческий уровень.Предполагается, что , ранги для данных из выборки 2 записываются в графу R 2 . Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Вилкоксона рассчитывается по формуле W = .

Пример. Фирме предъявлен иск о дискриминации сотрудников по признаку пола. Требуется, используя представленные данные о заработной плате (табл. 19), определить на 5%-ном уровне значимости, имеют ли оба распределения одинаковую медиану.

Таблица 19

Данные о дискриминации сотрудников по полу

	Месячная заработная плата, тыс руб.

Женщины	11,2	10,5	8,3	10,2	14,4	8,5	5,0
		7,5									= 43,5
Мужчины	9,1	18,3	14,1	21,9	10,5	13,8	14,6	8,6	13,4	10,6
					7,5

Поскольку нет оснований полагать, что месячная заработная плата у одной группы сотрудников больше, чем для другой, нулевая и альтернативная гипотезы формулируются как двусторонние.

Ряд распределения рабочих по тарифному разряду. Распределение рабочих по профессиям и разрядам

Месяц

Таблица 5.2. Распределение рабочих по разрядам

Таблица 5.2. Распределение рабочих по стажу работы

Таблица 2.4.2. Распределение рабочих по разрядам

Таблица 2.4.3. Распределение рабочих по стажу работы

Таблица 2.4.5. Распределение рабочих и работ по специальностям

Ряд распределения рабочих по уровню квалификации